Dinamica non lineare e accoppiamento modale: osservazione sperimentale e modellazione analitica di una risonanza interna 1:1

This thesis investigates the field of nonlinear dynamics, focusing on the analysis of the 1:1 internal resonance of a slender beam with a tip mass. An experimental study was conducted on a dedicated setup consisting of an inextensible cantilever beam excited at the base by an electrodynamic shaker. The dynamic response was monitored using a hybrid instrumentation system composed of a laser vibrometer, for point-wise velocity measurements, and a high-speed camera for the reconstruction of in-plane trajectories. The experimental campaign integrated free decay tests, for the estimation of linear modal parameters, with frequency sweeps (sine-sweeps) at increasing excitation levels. The system response curves were obtained, identifying the softening nature of the nonlinearity and determining the forcing threshold required for the activation of the phenomenon. A nonlinear analytical model based on the Lagrangian formulation of the equations of motion was developed to describe the coupling between the geometric nonlinearities of the beam and the inertial nonlinearities of the mass. The analysis of the reduced single-degree-of-freedom (1-DOF) system, solved both approximately via the Method of Multiple Scales (MMS) and through direct numerical integration, yielded the expression of the backbone curve, confirming the inertial origin of the observed phenomenon. Finally, the model extended to two degrees of freedom (2-DOF) allowed simulating the modal interaction and the energy transfer between longitudinal and transverse motion. The conclusive comparison between experimental evidence and numerical simulations validates the model, highlighting full agreement in the estimation of dynamic parameters, the bifurcation activation threshold, and the topology of the steady-state orbits.

Il presente lavoro di tesi si inserisce nell'ambito della dinamica non lineare, analizzando la risonanza interna 1:1 di una trave snella con massa all'estremità. È stato condotto uno studio sperimentale su un setup dedicato, costituito da una trave a sbalzo inestensibile eccitata alla base da uno shaker elettrodinamico. La risposta dinamica è stata monitorata mediante una strumentazione ibrida composta da un vibrometro laser, per la misura puntuale della velocità, e da una high-speed camera per la ricostruzione delle traiettorie nel piano. La campagna di prove ha integrato test di decadimento libero, per la stima dei parametri modali lineari, con scansioni in frequenza (sine-sweeps) a livelli di eccitazione crescente. Sono state tracciate le curve di risposta del sistema, identificando la natura softening della non linearità e individuando la soglia di forzante necessaria per l'attivazione del fenomeno. È stato sviluppato un modello analitico non lineare basato sulla formulazione lagrangiana delle equazioni del moto, in grado di descrivere l'accoppiamento tra le non linearità geometriche della trave e quelle inerziali della massa. L'analisi del sistema ridotto a un grado di libertà (1-DOF), risolto sia in via approssimata tramite il Metodo delle Scale Multiple (MMS) sia mediante integrazione numerica diretta, ha restituito l'espressione della backbone curve, confermando l'origine inerziale del fenomeno osservato. Il modello esteso a due gradi di libertà (2-DOF) ha infine permesso di simulare l'interazione modale e il trasferimento energetico tra moto longitudinale e trasversale. Il confronto conclusivo tra le evidenze sperimentali e le simulazioni numeriche attesta la validità del modello, evidenziando un pieno accordo nella stima dei parametri dinamici, della soglia di attivazione della biforcazione e nella topologia delle orbite a regime.