Studio di varietà stabili e instabili per equazioni differenziali ordinarie e applicazioni a circuiti elettrici

This thesis aims to analyze what happens around a critical point of a linearized system, showing the existence of a stable and unstable manifold. We will start by providing some generalities about ordinary differential equations. The Theorem of local invertibility and the Theorem of the implicit function will then be stated and proved, which will serve to explain the concept of manifold. After defining the flow, we will see, thanks to Hartman's Theorem, that there is a stable local manifold and an unstable local manifold. For completeness we will clarify the difference between "embedded" and "immersed" submanifolds. Finally we will propose some applications of the results found previously, showing particular attention to the Duffing equation.

Questa tesi ha lo scopo di analizzare cosa accade nei dintorni di un punto critico di un sistema linearizzato, mostrando l'esistenza di una varietà stabile e instabile. Si inizierà con il fornire alcune generalità sulle equazioni differenziali ordinarie. In seguito verranno enunciati e dimostrati il Teorema dell'invertibilità locale e il Teorema della funzione implicita, che serviranno per spiegare il concetto di varietà. Dopo aver definito il flusso, si vedrà, grazie al Teorema di Hartman, che esistono una varietà locale stabile e una varietà locale instabile. Per completezza si chiarirà la differenza tra varietà "embedded" ed "immersed". Infine si proporranno alcune applicazioni dei risultati trovati in precedenza, mostrando particolare attenzione all'equazione di Duffing.